Směrová derivace :-)
Definice.
Uvažujme zobrazení \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) a bod \(a\in\mathbb{R}^n\) a vektor \(v\in\mathbb{R}^n.\) Existuje-li pak limita \[D_vF(a)=\lim_{h\to 0}\frac{F(a+hv)-F(a)}{h},\] potom limitu \(D_vF(a)\) nazveme směrovou derivací zobrazení \(F\) v bodě \(a\) ve směru vektoru \(v.\)
Podívejme se na na obrázek ukazující geometrickou interpretaci směrové derivace (zdroj: Wikipedia)
Příklad.
Uvažujme funkci \(p\) z Příkladu [ex 1]. Vypočtěme nyní směrovou derivaci \(D_vp(a),\) je-li dáno: \(a=(1,1),\) \(v=(1,0).\)
Parciální derivace
Definice parciální derivace.
Uvažujme zobrazení \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) a bod \(a\in\mathbb{R}^n\). Směrové derivace ve směru prvků kanonické báze \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) prostoru budeme nazývat parciálními derivacemi a značit \(D_iF(a)\) nebo \(\frac{\partial F}{\partial x_i}.\)
Na následujícím obrázku lze pozorovat co znamená parciální derivace (zdroj: Wikipedia):
Příklad.
Vypočítejme parciální derivace funkce \(f(x,y)=e^{xy}\) v bodě \(a=(1,2).\)
Cvičení.
Dokažte, že existuje-li směrová derivace \(D_vF(a)\), potom pro každé \(c\in\mathbb{R}\) platí: \[D_{c\cdot v}F(a)=c\cdot D_vF(a).\]